Βάζετε τη φάβα σε μπολ και την καλύπτετε με νερό. Αφήνετε 30 λεπτά να μουλιάσει και έπειτα τη στραγγίζετε.
Σε μια κατσαρόλα βάζετε το ελαιόλαδο. Σε μέτρια φωτιά σοτάρετε τα κρεμμύδια μεχρι να μαλακώσουν (περιπου 8'-9'). Προσθέτετε τη φάβα και το νερό. Όταν πάρει βράση χαμηλώνετε τη φωτιά. Ξαφρίζετε τον αφρό που βγαίνει στην επιφάνεια.
Αφήνετε τη φάβα να σιγοβράσει για περίπου 1 ώρα (ανάλογα με τη φάβα) ανακατεύοντας κατά διαστήματα. Αν χρειαστεί, προσθέτετε λίγο χλιαρό νερό.Μόλις σωθούν τα υγρά και χυλώσει η φαβα προσθέτετε αλάτι.
Περνάτε τη φάβα από το multi, για να αποκτήσει κρεµώδη υφή.Προσθέτετε ελαιόλαδο,αλάτι και ανακατεύετε.Σερβίρετε µε καραµελωµένα κρεµµύδια.
Σε ένα τηγανι σε χαµηλή φωτιά, σοτάρετε τα κρεµµύδια σε 3 κ.σ. ελαιόλαδο. Ανακατεύετε συνέχεια, ώστε να µην αρπάξουν. Μόλις αρχίσουν να παίρνουν χρώµα, προσθέτετε τη ζάχαρη και το ξίδι. Ανακατεύετε για άλλα 5 λεπτά και αποσύρετε.
